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Deux écritures pour un même nombre ?

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   Énoncé   

Posons a=0,99999999999999 ... ( à l'infini )
Remarque : un nombre à la decimale infinie celà a un sens : pensez à pi, racine de 2 ...
Prenons alors a le nombre qui a pour partie entière 0 et pour partie décimale une suite infinie de 9.

a = 0,99999999999999...   (1)   par définition
10×a = 9,99999999999999...   (2)   on multiplie par 10
10×a = 9 + 0,99999999999999...   (3)   on sépare les parties entière et décimale du membre de droite
10×a = 9 + a   (4)   par définition
10×a - a = 9   (5)   on retranche a aux deux membres
9×a = 9   (6)   on utilise le fait que 10-1=9
a = 1   (7)   on divise par 9 les deux membres

Question : est-il vrai que 1 = 0,9999999999999... ?

   Solution   

La reponse à la question est : oui !! Il est vrai que 1 = 0,9999999999999... Ceci en était la démonstration rigoureuse.

Remarque : pour le passage de la ligne 3 à la 4, il faut savoir que l'infini-1 c'est encore l'infini.

Autre démonstration ( mais moins belle ) : 1 = 3×(1/3) = 3×0,333333... = 0,999999...

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