Énoncé   

Pour ceux qui ont trouvé la solution du problème précédent (et pour ceux qui ont été la lire !), une autre question concernant cette suite : montrez que le chiffre 4 ne peut jamais apparaître.

   Solution   

Faisons l'hypothèse qu'un 4 apparaisse sur une ligne.

Ce 4 doit forcement avoir un caractère à sa droite (seul le 1 finit les lignes), supposons que celà soit un x. La ligne (II) comporterait donc quatre x consecutifs :

Deux possibilités pour le découpage en couple :
(II)  ....a xx xx b.... ou
(II)  .... ax xx xb ....

1. Premier cas, le decoupage en couples se fait ainsi :
   (II)  ....a xx xx b.... La ligne (I) serait donc :
   x en x exemplaires puis x en x exemplaires :
   
   (I)   .... xxxxxxx xxxxxxx ......
             x fois    x fois
   (II)  ....axxxxb....
(III) .... 4x ...........
   
   La ligne (II) serait donc
   (II)  ....ayxb....
   Avec y = 2 × x
   
   Impossible : donc l'hypothèse est fausse.
2. Second cas, le découpage en couples se fait ainsi :
   (II)  .... ax xx xb ....
   
   La ligne (I) serait donc :
   x en a exemplaires puis x en x exemplaires et enfin b en x exemplaires :
   
   (I)   .... xxxxxxx xxxxxxx bbbbbbbb ......
             a fois    x fois    x fois
   (II)  ....axxxxb....
(III) .... 4x ...........
   
   La ligne (II) serait donc
   (II)  ....yxb....
   Avec y = a + x
   
   Impossible : donc l'hypothèse est fausse.

Conclusion : Dans tous les cas l'hypothèse est fausse. Donc il n'y a pas de 4 dans cette suite de chiffres. On monttrerais la même chose pour tout nombre supérieur à 4 ; chaque ligne est donc composée uniquement de 1, de 2 et de 3